数学（幾何学） 研究室

数学（幾何学）研究室/ 間下 克哉 教授

■ 研究分野

数学（微分幾何学）

■ 研究テーマ

リーマン多様体の部分多様体とその関連分野

■ 研究の概要

針金で作った輪を石鹸液に浸した後静かに引き上げます。このとき石鹸液による膜ができます。この膜は、表面張力だけを考えると、面積が最小になり極小曲面と呼ばれます。極小曲面を数式を用いて表現して考えようとするとき、「最小値の問題だから微分法」と単純に考えたく なりますが、針金の輪を境界とする曲面の全体は無限次元の空間になっていて通常の微分法は利用できません。このような問題に体しては変分法という ものが用いられます。「無限次元空間の上の微分法」です。

「幾何学」という言葉からは三角形円が想像される方が多いかと思いますが，現代の幾何学では「多様体」と呼ばれる図形を扱います。また、球面上の曲線や空間内の曲面を一般化して部分多様体というものが考えられます。極小曲面は、体積の第１変分が０であるものとして一般化され、それらは極小部分多様体と呼ばれます。

極小部分多様体の中でもっとも構造が単純なものとして全測地的部分多様体というものがあります。単純と書きましたが、まだ分類も終わっていません。現在、私は、リーマン対称空間の全測地的曲面の分類を行っています。また、極小部分多様体の研究では体積がもっとも小さいものを探すことも興味のある問題であり、それに関連して安定性という性質にも興味をもっています。